由公安机关管辖的刑事案件，是有公安机关侦查的，而不是检察院侦查。检察院批准逮捕后，还是需要公安机关继续侦查的。
检察院批准逮捕后，由公安机关执行逮捕。接着继续由公安机关侦查，待取证完毕，侦查终结后，才移送检察院审查起诉。移送检察院后，公安机关就不能再继续办理该案件(检察院退回补充侦查的除外)。
《刑事诉讼法》：
第七十八条逮捕犯罪嫌疑人、被告人，必须经过人民检察院批准或者人民法院决定，由公安机关执行。
第一百五十四条对犯罪嫌疑人逮捕后的侦查羁押期限不得超过二个月。案情复杂、期限届满不能终结的案件，可以经上一级人民检察院批准延长一个月。
第一百零九条报案、控告、举报可以用书面或者口头提出。接受口头报案、控告、举报的工作人员，应当写成笔录，经宣读无误后，由报案人、控告人、举报人签名或者盖章。接受控告、举报的工作人员，应当向控告人、举报人说明诬告应负的法律责任。但是，只要不是捏造事实，伪造证据，即使控告、举报的事实有出入，甚至是错告的，也要和诬告严格加以区别。公安机关、人民检察院或者人民法院应当保障报案人、控告人、举报人及其近亲属的安全。报案人、控告人、举报人如果不愿公开自己的姓名和报案、控告、举报的行为，应当为他保守秘密。
第一百一十条人民法院、人民检察院或者公安机关对于报案、控告、举报和自首的材料，应当按照管辖范围，迅速进行审查，认为有犯罪事实需要追究刑事责任的时候，应当立案;认为没有犯罪事实，或者犯罪事实显著轻微，不需要追究刑事责任的时候，不予立案，并且将不立案的原因通知控告人。控告人如果不服，可以申请复议。
对于你提出的“如果检察院批捕了公安局还能申请延期吗”问题，检察院批捕了后面就交给公安机关了，还有一些侦查，审讯之类的东西都是公安局的人来做的，在特殊的时候是可以申请延期逮捕的，如果时机不对反倒是打草惊蛇。你可以咨询律界星的律师。
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