一、女方是否可以申请变更抚养权：
最高人民法院《关于审理离婚案件处理子女抚养问题的若干意见》第16条规定,一方要求变更子女抚养关系有下列情形之一的,应予支持:
1、与子女共同生活的一方因患严重疾病或因伤残无力继续抚养子女的;
2、与子女共同生活的一方不尽抚养义务或有虐待子女行为,或其与子女共同生活对子女身心健康确有不利影响的;
3、10周岁以上未成年子女,愿随另一方生活,该方又有抚养能力的;
4、有其他理由需要变更的.根据以上规定,只要具有上述任意一种情形,你即可向人民法院申请变更抚养权.
《民法通则》第十六条未成年人的父母是未成年人的监护人。
未成年人的父母已经死亡或者没有监护能力的，由下列人员中有监护能力的人担任监护人：
(一)祖父母、外祖父母;
(二)兄、姐;
(三)关系密切的其他亲属、朋友愿意承担监护责任，经未成年人的父、母的所在单位或者未成年人住所地的居民委员会、村民委员会同意的。
因此，该小孩的抚养权应为其生母。当然，若其生母不想抚养，则可以委托孩子的爷爷抚养。
第一，哺乳期内的子女由母亲抚养。
按最高人民法院1993年11月3日颁发的《关于人民法院审理离婚案件处理子女抚养问题的若干具体意见》第一条规定：“两周岁以下的子女，一般随母方生活”。如果母亲有以下情形之一的，也可随父方生活：
1、患有久治不愈的传染性疾病或其他严重疾病，子女不宜与其共同生活的;
2、有抚养条件不尽抚养义务，而父方要求子女随其生活的;
3、因其他原因，子女确无法随母方生活的。
另外，父母双方协议两周岁以下子女随父方生活，并对子女健康成长无不利影响的，可予准许。
第二，哺乳期后的子女由谁抚养的问题
首先应由父母双方协商确定，协商不成的，由人民法院根据双方的情况判决。如果父方和母方均要求随其生活，一方有下列情形之一的，可予优先考虑：
1、子女随其生活时间较长，改变生活环境对于女健康成长明显不利的;
2、无其他子女，而另一方有其他子女的;
3、子女随其生活，对子女成长有利，而另一方患有久治不愈的传染性疾病或其他严重疾病，或者有其他不利于子女身心健康的情形，不宜与子女共同生活的。
4、父方与母方抚养子女的条件基本相同，双方均要求子女与其共同生活，但子女单独随祖父母或外祖父母共同生活多年，且祖父母或外祖父母要求并且有能力帮助子女照顾孙子女或外孙子女的，可作为子女随父或随母生活的优先条件予以考虑。
二、变更抚养权需要公证吗
一般来说，变更孩子抚养权是否需要公证由离婚夫妻自己决定，因为，变更孩子抚养权可以先有离婚夫妻协商，协商不成可以提起诉讼解决;如果协商后订立变更孩子抚养权协议书，或者进行变更孩子抚养权协议书公证的，是法律允许的，但是，无论怎么样，最后都需要法院裁定确认更孩子抚养权协议，才具有法律效力。
孩子是每一个家庭的希望，也是祖国的希望，让每个孩子都拥有幸福的童年，不仅是每一个家长的责任，也是社会的责任。为了孩子能在更有利的生活环境下健康成长，父母对待抚养权一定要慎重。
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